HiHo,
wir haben für die Ferien eine kleine Aufgabe bekommen, die wir zu lösen versuchen sollten (freiwillig).
Das Problem: Hier klicken
Gegeben ist ein Dreieck A, B, C, das um ein Kreis gespannt ist. Zu berechnen ist nun der Flächeninhalt F des kleinen Dreiecks oben. Die einzigen Längenangaben stehen an der Seite (AD = 4, DB = 2,...).
Mein Freund widersprach meiner Lösung, deshalb frag ich hier mal, wie ihr es rechnen würdet.
Vorerst sage ich meinen Denkansatz mal noch nicht, um nicht unnötig zu verwirren.
Wie rechnet ihr das?

Handelt es sich um ein gleichschenklige Dreiecke? In diesem Fall wäre DB = r und 2r wäre E (was der Zeichnung entspricht), x wäre dann 2. Die Fläche F wäre (x^2)/2 also 2?! Das wäre wohl zu trivial, oder?\n\n

<!--EDIT|Ronnie|1072882653-->

das bild ist etwas verwirrend...
wenn DB = 2, muss E = 4 sein, weil DB gleich dem radius des kreises ist...
da die kannte AB gleich BC (wegen dem kreis) ist X nun ebenfalls 2!
da a^2 + b^2 = c^2 ist... ist (AC)^2 = 72... daraus ergibt sich AC

außerdem gilt:
AC = 2*HC + 2*GH

weiter?

[quote=Ronnie,31.12.2003, 15:57]Handelt es sich um ein gleichschenklige Dreiecke? In diesem Fall wäre DB = r und 2r wäre E (was der Zeichnung entspricht), x wäre dann 2. Die Fläche F wäre (x^2)/2 also 2?! Das wäre wohl zu trivial, oder?[/quote]
wieso x^2/2

das dreiecke, dass die fläche F umspannt ist, HCP
wobei P nicht eingezeichnet ist...
HP ist ja nicht 2!!!

[quote=esskar,31.12.2003, 16:00]wieso x^2/2[/quote]
Wenn das Dreieck F rechtwinklig ist kann ich mit (h*b)/2 den Flächeninhalt bestimmen. Wenn es gleichschenklig ist (h=b bzw. x) kann ich diese Fläche mit x^2/2 bestimmen, oder? Bin ich jetzt völlig auf dem Holzweg?

Also, E, D, G und H geben hier keine Strecken an, sondern nur Schnittpunkte! (E ist Schittpunkt des Kreises mit dem Dreieck)

@Ronnie

Und genau dies war das Ergebnis, das ich auch raus habe: 2!
Ich finde es auch trivial, aber genauso haben wir die Zeichnung bekommen!

@esskar

Ronnie hat es so gemacht, wie ich. Ob es ein gleichschenkliges Dreieck ist, weiß ich auch nicht. Das ist ja gerade ein Problem... Dann kann man sagen, dass x = 2 sein muss! Ich habe anders verfahren als Ronnie. Ich habe das große Dreieck auf das kleine gestreckt, mit dem Streckfaktor z = 1/3. Deshalb habe ich auch 2 als Ergebnis heraus... Ob es stimmt frag ich mich aber auch?!

bei gleichschenkligkeit ist das korrekt...
es muss auch gleichschenklig sein... anders würde AC den Kreis nicht berühren!!!

Ich hab mir jetzt die anderen Lösungen nicht angesehen, um mich nicht beeinflussen zu lassen.

1. Das große Dreieick ist gleichschenklig.
2. Der Radius des Kreises beträgt 2 (nach Vorgabe der Strecken AD und DB).
3. X hat die Länge 2 (da der Kreisdurchmesser 4 und das große Dreieck gleichschenklig ist).
4. Da auch das kleine Dreieck gleichschenklig ist, ist der Flächeninhalt 2*2/2, also 2.

Stimmts?

Jepp, hatten wir alle auch raus... Ist das nicht trivial?

:)

Zur Frage, ob das Dreieck gleichschenklig sein muss denke ich, dies muss in der Aufgabenstellung vorgegeben werden.

Denn selbst wenn ein rechter Winkel im Dreieck vorgegeben wird, können die anderen beiden Winkel fast beliebeig zwischen 0 und 45 Grad gewählt werden und man kann trotzdem mit den drei Dreiecksseiten den Kreis berühren...

... wers nicht glaubt stelle sich folgendes vor: Man hat zwei Halbgeraden, die sich in ihrem Ausgangspunkt berühren und im 90-Gradwinkel zueinander stehen. Nun plaziert man einen (kleinen) Kreis in dem gebildeten Winkel, so dass er beide Halbgeraden berührt.

Nun kann man viele viele Geraden so einzeichnen, dass sie sowohl den Kreis tangieren als auch beide Halbgeraden schneiden.\n\n

<!--EDIT|Crian|1073304598-->