Bei Transport-Layer-Sachen vermute ich, dass das CGI-Script eher nichts damit zu tun hat.

Taucht etwas in den Apache-Error-Logs auf? Eventuell mal loglevel hochdrehen.

Und dann halt mal über den Tag mit curl -v ordentlich anfragen stellen und loggen. Wenn es sporadisch auftritt kriegst Du es damit eventuell mit. Falls ja (und es also nichts Firefox-spezifisches ist) kannst Du weiter einschränken: passiert es auch, wenn Du statische Resourcen abrufst (=CGI Script ausschließen). Passiert es auch, wenn Du andere Sachen auf dem selben Server aufrufst? Passiert es auch, wenn Du nginx als reverse proxy davor setzt (Du kannst ja erstmal einen anderen Port nutzen und musst nicht gleich komplett umstellen)?