Vielen Dank an alle, für die bisherigen Antworten. Mit dem Router habe ich mich leider Missverständlich ausgedrückt. Ich meine natürlich: "Wie bekomme ich die IP-Adresse auf der Kommandozeile heraus, die mir mein Provider gibt, sobald ich mich bei ihm ins Internet einwähle?" Das muss ja nicht unbedingt über ein DSL- oder WLAN-Router passieren, es geht ja auch mit dem guten alten Kabelmodem.
Wie ich meine IP mit dem Browser herausbekomme, ist klar: Ich surfe zu whatismyip.com und da steht dann meine IP. Wie man das mit einem Perl-Skript machen kann, habe ich bereits gezeigt, nur: There is more than one way to do it. ;-)
Ich wäre an einer eleganteren Lösung als meine interessiert, vielleicht eine, die auf den Zugriff von Websites wie whatismyip.com verzichtet.