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Soll ich HTML 4.01 strict, oder XHTML einsetzen?

Die Antwort lautet natürlich XHTML! HTML veraltet so langsam. XHTML ist ein überarbeitetes HTML, was auf den Formatierungskriterien von XML basiert ("wohlgeformtes" Dokument).

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Was ist der Unterschied zwischen id- und class-Attributen?

ID Attribute sind für JavaScript erfunden worden, CLASS Attribute für CSS. Du kannst jedes beliebige (X)HTML Element mit JavaScript über eine eindeutige ID ansprechen (was du mit dem Element letzten Endes machst, ist im Prinzip egal).
CLASS Attribute dienen der Formatierung einzelner (X)HTML Tags. Wenn du beispielsweise einem Tabellenelement <td> das Attribut "class='content'" zuweist, kannst du das Element in CSS direkt ansprechen (ob du die Hintergrundfarbe oder den Text änderst, ist auch hier egal).

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Bei welchen tags können id- und class-Attribute eingesetzt werden?

Tja... das ist so 'ne Sache. Im Prinzip kannst du sie überall einsetzen. Es kommt am Ende nur darauf an, wie du das Element "verarbeitest". So ist es zum Beispiel (oder sollte es) nicht möglich, über ein CLASS Attribut dem Element mit JavaScript eine neue Hintergrundfarbe zuzuweisen. Genau definiert ist es AFAIK nicht, das bekommst du aber mit der Zeit mit.

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Wieso ignoriert der Mozilla diese vollständig?

Das kann nicht sein. Mein Mozilla interpretiert meine Seiten genauso, wie es der IE auch tut. Dann musst du etwas falsch machen. Hast du mal ein Beispiel, wo die Anzeige in beiden Browsern sich unterscheidet?

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Wie muss eine Seite aufgebaut sein um vom Mozilla sauber dargestellt zu werden?

Das beantwortet die letzte Frage eigentlich schon. Normal sollte es genauso wie im IE aussehen. Welche Version vom Mozilla hast du denn? Evtl. hat es da in älteren Version Unterschiede gegeben oder Mozilla 1.0 unterstützte noch kein CSS (???).