Die Menge der natürlichen Zahlen N ist ein Beispiel für eine abzählbar unendliche Menge. Es gibt eine erste Zahl und jede weitere Zahl hat genau einen Vorgänger und einen Nachfolger. Man kann die Menge N also abzählen - daher der Name. Diese Art von Unendlichkeit bezeichnet man als als &̣N¹.

Nach Cantor (siehe obiges Hobbit Bespiel) sind auch die rationalen Zahlen Q abzählbar unendlich:

1/1  2/1  3/1  4/1  5/1 ...
1/2  2/2  3/2  4/2  5/2 ...
1/3  2/3  3/3  4/3  5/3 ...
1/4  2/4  3/4  4/4  5/4 ...
1/5  2/5  3/5  4/5  5/5 ...
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Man sieht, dass man auch diese Menge abzählen kann. Selbst wenn man jetzt noch die Null oder Minuszahlen dazu tut, bleibt es abzählbar.

Man sieht auch das N in Q enthalten ist; was wohl die Frage klärt, ob eine Menge eine unendliche Menge nethalten kann!!!


Nun gibt es auch Mengen die echt größer sind als die Menge N und auch als die Menge Q. Die Menge R (reele Zahlen) ist ein Beipiel für eine überabzälbar unendliche Menge.

Beweis durch Cantor'sches Diagonalverfahren: Wir beschränken uns auf das Interval [0; 1]. Angenommen, die reelen Zahlen in diesem Interval wären abzählbar unendlich. Dann müsste folgende Liste alle enthalten:

A1 = 0.a11a12a13a14a15 ...
A2 = 0.a21a22a23a24a25 ...
A3 = 0.a31a32a33a34a35 ...
A4 = 0.a41a42a43a44a45 ...
...

wobei 0 die Zahl vor dem Komma und aij eine Dezimalstelle darstellt...

Es lässt sich aber nun folgendemaßen eine Zahl 0.b1b2b3 ... konstruieren, die in der Liste nicht vorkommt:

Wir wählen b1 so, dass es ungleich a11, b2 so, dass es ungleich a22 ist, und allgemein bn so, dass es ungleich ann ist. Diese Zahl stimmt mit A1 in der ersten Nachkommastelle nicht überein, mit A2 nicht in der zweiten und mit An nicht in der n-ten. Da die falsche Annahme zu einem Widerspruch geführt hat, muss die Menge R überabzählbar unendlich sein...