In der Tat sollte LWP automatisch eine SSL-Verbindung aufbauen, wenn Du ihm eine https-URL übergibst, so sagt es auch die Dokumentation.

Damit SSL-Verbindungen von LWP unterstützt werden, muss, wenn mich nicht alles täuscht, entweder IO::Socket::SSL oder Net::SSL installiert sein, als Nutzer der LWP-API muss man diese Module aber nicht direkt ansteuern.

Da beim Aufbau einer SSL-Verbindung der Server authentifiziert wird, muss ferner die zum Serverzertifikat passende Zertifikatsautorität (CA) der SSL-Bibliothek bekannt sein. Falls das nicht der Fall ist bzw. das Serverzertifikat vielleicht selbstsigniert ist, kann man das passende CA- oder Serverzertifikat mit Hilfe der Methode LWP::UserAgent::ssl_opts an LWP und die darunter liegende SSL-Bibliothek übergeben.