Ich bin gerade nicht so in WWW::Mechanize drin.
Aber ich denke, dass durch den erste Posten des Formulars $mech verändert wird und nicht mehr später nutzbar ist.
Also musst du das Objekt $mech nach dem get() klonen. Vielleicht hilft da Data::Clone.
Du könntest beim ersten Mal die Daten mit $mech holen und dann mit dem geklonten $mech_clone das andere Formular beschicken und absenden.
Siehe https://metacpan.org/pod/Data::Clone#Blessed-refer...