Sehr schwierig, weil der Mechanize kein Javascript kennt und der Button die Funktion _gaq.push() aufruft.
Es gibt noch ein Zusatzmodul für den Mechanize welches auch JS kann.
Ich würde jedoch die Funktion anschauen und gucken, was die macht. Am Ende muss die ja auch irgendeinen Request auslösen, den man mit Mechanize nachbauen kann.