nun ja, in diesem fall sagst du perl mit dem statement:
if (undef $dbh) {
setze $dbh auf undef und frage das ergebnis ab.

jetzt ist $dbh leider undef, somit das vorherige connect komplett sinnlos.

und "Can't call method ... on undefined value" heisst nun mal, dass perl keine methode auf einem undefinierten wert aufrufen kann.

du prüfst nicht auf undef. du setzt $dbh selbst auf undef.

auf undef prüfen tust du so:
if (not defined $dbh) {