Woran scheitert es denn?

Du musst das Quiz an eine Session binden. Immer wenn der User auf den "Weiter"-Button klickt, schickst Du per Ajax die Antworten inkl. SessionID an den Server. Dort speicherst Du die Antworten und schickst das HTML-Snippet zurück, das dann angezeigt werden soll. Nach der letzten Frage zeigst Du die Auswertung...

Generell würde ich für die AJAX-Funktionalitäten ein Framework wie jQuery benutzen. Damit wird so etwas ziemlich einfach.