Nachtrag:

LanX-+2008-12-19 23:07:32--

[...] Also rein mathematisch wird hier punktweise die Steigung angenähert, was ja genau die Definition für die Ableitung ist, wenn Epsilon gegen 0 geht. [...] noch genauer wärs wenn man den Mittelwert der beiden Steigungen von f(x) zu f(x-e) und f(x+e) nähme statt nur f(x-e) zu f(x+e) ... mit e=Epsilon!

So wie Du das sagst, klingt es irgendwie komisch: Wenn e=Epsilon ist, warum benutzt Du dann ueberhaupt zwei verschiedene Variablen? Und im Grenzwert Epsilon gegen Null macht es auch keinen Unterschied, ob ich die linksseitige, die rechtsseitige oder die mittlere Ableitung an einer Stelle berechne, es sei denn, die Funktion ist im strengen Sinne dort gar nicht differenzierbar.

Solange Epsilon endlich ist, ist die mittlere Ableitung aber wirklich die bessere Approximation. Ausser eben an Stellen, wo einen eigentlich nicht die Ableitung, sondern der links- oder rechtsseitige Grenzwert derselben zu dieser Stelle hin interessiert, weil die Funktion dort nicht differenzierbar ist.

Das numerische Differenzieren ist eben fast komplizierter korrekt durchzufuehren als das numerische Integrieren, obwohl es theoretisch die einfachere Operation ist -- irgendwie paradox, nicht wahr?